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拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好?


深愛《來自星星的你》的炸雞店老闆決定推出“炸雞加啤酒”套餐,根據以往的銷售數據,他分別繪製出了炸雞和啤酒的需求曲線:

炸雞的需求曲線:

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啤酒的需求曲線:

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炸雞店老闆驚訝地發現,不僅兩條需求曲線都是直線,而且炸雞和啤酒並不是替代品或互補品——換言之,這兩種食品的需求只由其本身的價格決定,而和另一種商品的價格無關。

如果老闆要推出“一份炸雞加一份啤酒”的套餐的話,一個首當其衝的問題就是,這種套餐的需求曲線長什麼樣呢?(雖然上面的假設已經非常簡單了,但是方便起見,老闆還是決定,在推出套餐后,只賣套餐,不賣單品

炸雞店有兩個常客,都是某大學經濟系的學生,但是術業有專攻:甲精通宏觀經濟學,乙擅長產業組織理論。老闆拿這個問題請教了他們,卻得到了不同的答案。

甲的想法是這樣的:

我們可以把社會上的所有消費者整合為一個代表性個體(Representative Agent),需求函數不過就是這個代表性個體面對不同商品價格時的最優選擇,進一步地,也就取決於他的效用函數。假設代表性個體對於除了炸雞和啤酒之外的商品有線性效用,效用函數就是擬線性(quasi-linear)的,在這種情況下,一階條件告訴我們:

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拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好?;於是我們知道效用函數可以表達為

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如果老闆所選擇的套餐售價為 拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好?,那麼代表性個體面對的效用最大化問題就是

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於是新的一階條件變成:

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反過來,套餐的需求曲線就是

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仍然是一條直線

而乙的想法是這樣的:

蘿蔔青菜,各有所愛,需求曲線的不同位置代表的是不同的消費者群

我們應當認識到,消費者所認為的炸雞和啤酒的價值是不同的,而為了使得需求曲線像歷史數據所揭示的那樣,我們可以假設消費者所認為的炸雞價值均勻分佈在[0,10]上,而啤酒價值均勻分佈在[-5,5]上;再假定炸雞價值的分佈和啤酒價值的分佈互相獨立(喜歡炸雞的人可能喜歡啤酒也可能不喜歡啤酒,反之亦然),就構成了[0,10]x[-5,5]上的聯合均勻分佈。記消費者的總人數為 10 單位,且每個消費者對每種食物的需求是單位需求(unit demand),這意味著每個消費者只有四種可行選項:什麼都不買、買一份炸雞、買一份啤酒、買一份炸雞 + 一份啤酒。

如果炸雞的價格為 拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好?,那麼只有那些認為炸雞價值超過 拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好?的消費者會購買炸雞(且這和他們認為的啤酒價值無關),因此需求曲線恰好就是

拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好?;如果啤酒的價格為 拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好?,我們也能算出需求曲線恰好就是

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(由於啤酒價格不會小於 0,那些認為啤酒價值小於 0 的 5 單位消費者永遠不會買啤酒)。

現在,如果老闆所選擇的套餐售價為 拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好?,那麼只有那些認為炸雞價值加上啤酒價值超過套餐售價的消費者會購買套餐,這時候需求曲線不再是直線,而會在

拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好? 時有一個彎折:

當 拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好? 時,

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(除以 10 是因為總共 100 單位面積上只有 10 單位消費者)

當 拿啤酒 + 炸雞說說,兩種商品怎麼搭配起來賣最好? 時,

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兩種方法得出的不同需求曲線如下圖所示,橫坐標為數量,縱坐標為價格:

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這兩位得出了不同的答案,自然是誰也不服誰。

乙批評甲的做法有問題:

如果我們假設消費者都是同質的,那麼代表性個體和任意單個消費者也沒啥兩樣;但是當市場上的消費者是異質的時,就未必能保證我們可以將消費者整合成代表性個體了。宏觀經濟學當中,進行“代表性個體”這樣的處理本身就隱含了許多要求,比如說效用函數就不能夠任意選取,對於市場結構所存在的摩擦也要有所限制;而這裡更進一步地要求效用函數是擬線性的,這一點假設是非常強的——如果不是擬線性的,一階條件只能給出

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這時候就不能像上面那樣方便地倒推出效用函數,也就未必能得出同樣的結論了。

甲則認為乙的操作太具有隨意性:

即使我們像產業組織理論當中經常做的那樣認為消費者是異質的,在每個商品上的估值是均勻分佈並不能說明其共同構成聯合均勻分佈。的確,從需求曲線上可以看出,這兩種商品的需求獨立於另一種商品的價格,或者說交叉價格彈性為 0;但是這裡的獨立並不能說明消費者所認為的兩種商品價值分佈的獨立,事實上概率論告訴我們,對於隨機向量,知道其中每一項隨機變數的邊際分佈(marginal distribution)並不能恢復出整體的聯合分佈(joint distribution),有無數種可能的聯合分佈,自然就能算出無數種可能的“套餐”需求曲線。

退一步說,就算是聯合均勻分佈,也未必得是分佈在[0,10]x[-5,5]上。比如說,可以假定消費者的估值服從在[-40,10]x[-45,5]上的聯合分佈,且消費者的總人數為 50 單位,對於單種商品仍能得到相同的需求曲線,然而套餐的需求曲線就很詭異了:

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我們甚至可以選擇更加極端的聯合均勻分佈,使得套餐的需求曲線任意地接近於 0,儘管這種分佈幾乎不現實,但是我們也無法從現有的證據中排除這種可能。

兩人各執己見,爭論不休,眼看著就要大打出手;幸好當局者迷,旁觀者清,炸雞店老闆雖然沒有怎麼學過經濟學,但是經常聽這兩位“高人”談論經濟學,耳濡目染,也知道些經濟學的“之乎者也”,趕忙攔下兩人,做了個總結陳詞:

說到底,還是因為需求曲線並沒有包含足夠的信息:即使我們給出了許多簡化的條件,只知道兩件商品各自的需求曲線,而不知道需求曲線背後實際上的消費者結構,仍然不可能得出“套餐”的需求曲線。作為推廣的結論,我們平時看到“捆綁銷售”時,也不應該只根據其中每個單品的銷售情況或者銷售模式來做簡單推論:比如,即使單品銷售時都採取“薄利多銷”的模式,也不代表“套餐”能夠薄利多銷——因為這恰恰取決於我們並不知道的“套餐”需求曲線的彈性。

(Photo credit: vwcampin via Visual Hunt / CC BY 2.0)